تدقيقات كومي ومكابي: ما مدى احتمال كونها مصادفة؟

اوقات نيويورك تم الإبلاغ عنه أن دائرة الإيرادات الداخلية أعطت أحد أكثر أنواع التدقيق صرامة لجيمس ب. كومي ، المدير السابق لمكتب التحقيقات الفيدرالي ، ونائبه السابق أندرو جي.

وقد أدى ذلك إلى طرح الكثير من الأسئلة المعقولة تمامًا ، ومعظمها متغيرات: ما هي الاحتمالات؟ كما أشار المقال ، فإن فرص مراجعة اثنين من الأعداء السياسيين رفيعي المستوى للرئيس دونالد جيه ترامب بمحض الصدفة ضئيلة للغاية.

لكن الضئيلة ليست صفرا.

إذا أردنا أن نصدق أن هذه كانت مصادفة ، إلى أي مدى يمكن أن نقول أنها بعيدة الاحتمال؟ هنا ، نحاول تقدير هذا الاحتمال بجدية قدر الإمكان.

أولاً ، الحقائق: تم اختيار كلا الرجلين للتدقيق في إطار البرنامج القومي للبحوث (NRP) ، وهو مجموعة فرعية صغيرة من جميع عمليات التدقيق التي تجريها مصلحة الضرائب الأمريكية كل عام. تقوم عمليات التدقيق هذه بفحص عينة من العوائد لجمع البيانات حول الامتثال الضريبي.

وفقًا لمصلحة الضرائب الأمريكية ، كان هناك حوالي 5000 عملية تدقيق من هذا القبيل في عام 2017 ، و 4000 في عام 2018 ، و 8000 في عام 2019 – تم اختيارها من حوالي 154 مليون إقرارات ضريبية فردية كل عام. كان تدقيق السيد كومي لإقراره الضريبي لعام 2017 ؛ كان السيد مكابي لعودته لعام 2019.

تؤدي العديد من جوانب برنامج NRP إلى تعقيد حساباتنا ، بما في ذلك منهجية أخذ العينات لمراجعي IRS والسنوات المختلفة لعمليات التدقيق نفسها. سنعود إلى هذه القضايا لاحقًا. في الوقت الحالي ، سنفترض أن جميع دافعي الضرائب لديهم فرصة متساوية في الخضوع للتدقيق وأن كلا الرجلين قد تم تدقيقهما في عام 2017.

إذا ظهرت هذه المشكلة في كتاب مدرسي عن الاحتمالية ، فقد تقرأ على النحو التالي:

إذا كان هناك 154 مليون كرة رخامية (العدد التقريبي للإقرارات الضريبية المقدمة كل عام) في جرة عملاقة ، وكان عدد قليل منها أحمر (تلك التي تمثل السيد كومي والسيد مكابي بينهم) ، فما هي فرصك؟ سوف ترسم اثنين أو أكثر من الكرات الحمراء إذا سحبت بشكل عشوائي بضعة آلاف من الجرة (عدد المراجعات في تلك السنة)؟

قد يبدو الأمر معقدًا ، لكنه كذلك مشكلة مدروسة جيدًا نسبيًا، وهو شيء قد يواجهه العديد من تخصصات الرياضيات أو الإحصائيات في الدورات الدراسية بالكلية. لقد اشتق الناس بالفعل معادلات لتقدير هذه الاحتمالات ، بأسماء مثل توزيع فوق هندسي، والتي لها تطبيقات مثل تدقيق الانتخابات وعد البطاقات.

يمكننا ببساطة إدخال تقديراتنا لعدد الكرات الإجمالية ، وعدد الكرات الحمراء وعدد السحوبات ، وسنحصل على احتمال. إذا كنا نعتقد أن هناك اثنين فقط من الكرات الحمراء – أي إذا قصرنا التمرين على فقط السيد مكابي والسيد كومي – ينتج عن هذه المعادلة احتمال واحد من كل 950 مليون.

هذه احتمالات أكبر بكثير من فرصك في الفوز بلعبة Powerball. إنها أيضًا نتيجة لا معنى لها تقريبًا. في أحسن الأحوال ، هذه هي الإجابة الصحيحة على السؤال الخاطئ.

لفهم السبب يتطلب الاعتراف بسخافة متأصلة في تمريننا: لتقدير احتمالية وقوع حدث غير محتمل على أفضل وجه ، يجب أن نضع جانبًا حقيقة أننا نعلم أنه حدث بالفعل. (احتمال حدوث ذلك هو 100٪).

جوردان إلينبيرج، الأستاذ في جامعة ويسكونسن الذي كتب كتبًا عن الرياضيات والتفكير ، وصف الأمر على هذا النحو: “في عالم غير واقعي ، ما هو احتمال حدوث هذا الشيء ، الذي حدث بالفعل في كوننا؟”

قد يبدو الأمر غريبًا ، لكن نفس المشكلات تظهر حتى في التدريبات الاحتمالية الأساسية مثل تقليب العملة.

إذا قمت بقلب عملة معدنية 20 مرة على التوالي ، فإن التسلسل المحدد للرؤوس وذيولك يكون نادرًا بشكل غير عادي ، حوالي واحد في المليون ، لكنه حدث بالفعل. و بعض سيحدث دائمًا تسلسل التقلبات. إنها مصادفة مفاجئة فقط إذا كان هذا هو التسلسل الذي حددته قبل التقليب.

بالطريقة نفسها ، من الخطأ تضييق نطاق البحث ليشمل السيد كومي والسيد مكابي فقط ، لأنه من المحتمل أننا سنقوم بفحص هذه الاحتمالات إذا علمنا أن اثنين آخر تم تدقيق أعداء سياسيين بارزين للإدارة بدلاً من هذين الرجلين.

السؤال الأفضل هو: ما هو احتمال وجود شخصين أو أكثر مثل السيد كومي والسيد مكابي هل سيخضعان للتدقيق خلال هذه الفترة؟

هل يجب أن تضم هذه المجموعة من الأشخاص أي اثنين من كبار مسؤولي مكتب التحقيقات الفيدرالي؟ أي اثنين من كبار المسؤولين في وزارة العدل؟ هذا التأطير – قرار شخصي أكثر من كونه واقعيًا – هو الذي يدفع في الغالب لأي تقدير احتمالي ، أكثر من أي خيار للتوزيع الإحصائي أو ترجيحات أخذ العينات.

فيما يلي رسم بياني لاحتمالية تسفر معادلتنا في اختيارات مختلفة لعدد الكرات الحمراء ، بدءًا من اثنين (السيد كومي والسيد مكابي ولا أحد آخر) إلى 400 (تقدير متحفظ لعدد الأمريكيين السيد ترامب أهان بالاسم على تويتر منذ بداية ترشحه للرئاسة).

يزداد الاحتمال بشكل كبير مع اختيار من يجب اعتباره رخامًا أحمر إلى جانب السيد كومي والسيد مكابي.

لا تكمن النقطة في اتخاذ قرار بشأن رقم بل إدراك أن اختيارنا لحجم المجموعة هو ما يدفعنا إلى الإجابة. على الرغم من أن بعض التخمينات أفضل بالتأكيد من غيرها ، إلا أن العديد من الخيارات يمكن الدفاع عنها.

معالجة التفاصيل

الآن دعونا نحاول تضييق نطاق شيء ما بلمسة أكثر واقعية ، والعودة إلى بعض الأشياء التي تجاهلناها في تفسيرنا البسيط لهذه المشكلة.

أولاً ، لم يتم تدقيق الرجلين لنفس العام. من خلال توسيع نطاقنا لتغطية فترة الثلاث سنوات من 2017 إلى 2019 ، تزداد احتمالاتنا الناتجة بشكل كبير. هذا واضح ومباشر: إذا كان لدى الشخص فرصة معينة للمراجعة في عام معين ، فإن المزيد من السنوات يعني المزيد من الفرص للمراجعة.

ثانيًا ، نحن مهتمون فقط باحتمالية اختيار شخصين على الأقل. لن ننظر في احتمال أن يتم اختيار نفس الشخص مرتين ؛ يبدو من غير المحتمل بالنظر إلى أن عمليات التدقيق يمكن أن تمتد لأكثر من عام ، وفقًا لرواية السيد كومي. لاحظ أننا نبحث في احتمال اختيار شخصين على الأقل ، وليس شخصين على وجه التحديد ، لأنه سيكون أيضًا مهمًا إذا تم اختيار ثلاثة أفراد أو أكثر من مجموعة.

أخيرًا ، لا تختار مصلحة الضرائب الأشخاص بطريقة عشوائية حقًا. بدلاً من ذلك ، تميل الوكالة إلى اختيار بعض أنواع دافعي الضرائب ، بما في ذلك ذوي الدخل المرتفع، أكثر من غيرهم. بالنسبة للسنة الضريبية 2001 ، تم تضمين نموذج NRP عائدات من الناس حول الشريحة المئوية التسعين من الدخل بنحو 1.7 ضعف المعدل الذي يتوقعه المرء ، حيث تم اختيار العوائد بشكل مستقل عن الأرباح. ارتفع هذا المعدل من خلال المراتب الأعلى دخلاً ، بحيث كان الأشخاص ذوو الدخل في أعلى 0.5 في المائة من المرجح أن يكونوا في العينة أكثر بعشر مرات من الأشخاص الأقرب إلى متوسط ​​الدخل.

يمكننا على الأرجح أن نفترض أن أي مجموعة من أعداء السيد ترامب ستكسب أكثر من عينة عشوائية من الأمريكيين. لكن لا يمكننا بشكل واقعي تقدير الدخل الكامل لكل فرد في مجموعتنا في كل عام. نعلم أيضًا أن مصلحة الضرائب الأمريكية قد نظرت في عوامل أخرى في أخذ العينات ، مثل نوع العوائد ملف دافعي الضرائب هذا ، وأن طرق أخذ العينات يمكن أن تتغير من سنة إلى أخرى. هذا لا يترك لنا سوى القليل من التوجيه حول كيفية مطابقة أساليب مصلحة الضرائب. على هذا النحو ، سوف نترك تقديراتنا غير مرجحة حسب الدخل. كتمرين في ظهر الظرف ، إذا كنت قلقًا بشأن كيفية تأثير الدخل على هذه النتائج ، فيمكنك مضاعفة الاحتمال الناتج إذا كنت تعتقد أن أعضاء المجموعة لديهم أرباح عالية جدًا ، وضربها في 10 إذا كنت تعتقد أنهم ثري بشكل غير عادي.

ضعهم جميعًا معًا

بدمج هذه الخيارات ، يوفر الجدول أدناه بعض الاحتمالات المقدرة اعتمادًا على حجم المجموعة التي يتم النظر فيها.

بدلاً من ذلك ، إذا كانت خياراتنا غير مرضية ، فقد أنشأنا لك آلة حاسبة بسيطة لإنشاء الاحتمالات الخاصة بك:

إذن ما هو التقدير “الصحيح”؟

يمكن وصف معظم المخرجات الواقعية لهذه المعادلة بدقة بأنها “نادرة جدًا” أو حتى “نادرة للغاية” ، ومع ذلك لا يوجد دليل على ارتكاب خطأ.

قال: “إنها تشبه إلى حد ما القوة التي لا تُقاوم والشيء غير المتحرك” أندرو جيلمان، أستاذ الإحصاء والعلوم السياسية بجامعة كولومبيا ، عندما أخبر في الملخص عن هذا التمرين. “من ناحية ، أنت تقول إنه عشوائي تمامًا. من ناحية أخرى ، أنت تشك في أنه ليس كذلك “.

السيد جيلمان ، مثل أي إحصائي آخر تحدث مع التايمز حول هذه المشكلة ، قال إن العقبة الأكبر لم تكن أي من التفاصيل ولكن تحديد السؤال نفسه.

عندما نحاول حساب احتمال حدث معين لان نشك في أنه قد لا يكون عشوائيًا ، ينتهي بنا المطاف في موقف معقد لمحاولة تخيل كيف كنا نتوقع احتمالية وقوع الحدث قبل قال ما حدث ديفيد سبيجلهلتر. يرأس مركز وينتون للتواصل بشأن المخاطر والأدلة في جامعة كامبريدج ، وهي منظمة مكرسة لتحسين طريقة استخدام الأدلة الكمية في المجتمع.

قال إن الرياضيات سهلة ، لكن صياغة السؤال صعب ، ويقترب من “لا معنى له” ، ويرجع ذلك في جزء كبير منه إلى صعوبة تحديد المجموعة التي نهتم بها.

“ما هي فرصة حدوث ذلك؟” هو بيان سهل الإدلاء به “. “إنه بيان مألوف يتم الإدلاء به. لكن ، في الواقع ، من الصعب جدًا الإجابة عن هذا السؤال “.

الرياضيات لها حدودها. قال جيلمان إن الهدف من محاولة تقدير احتمالية مثل هذا ليس وضع الكثير من المخزون في الأرقام ، ولكن السماح للنتيجة بدفعك لمعرفة المزيد.

في هذه الحالة ، لا يكون السؤال الأفضل هو الإجابة التي يمكنك البحث عنها في كتاب الإحصاء المدرسي.

وبدلاً من ذلك ، قال السيد جيلمان ، السؤال الذي يجب طرحه هو: “ما الذي يحدث؟”

ماثيو كولين ساهم في إعداد التقارير.